Раціональні числа – повний та простий гід для школярів і дорослих

Раціональні числа – це одна з найважливіших тем у математиці, яку школярі вивчають у середніх класах. Саме завдяки цим числам ми можемо виконувати більшість знайомих нам обчислень. Вони зустрічаються не лише в підручниках, але й у реальному житті. У цій статті ми розглянемо все про раціональні числа: від визначення до застосування, від властивостей до прикладів. Матеріал буде простим і зрозумілим навіть для 11-річного учня.

Що таке раціональні числа

Раціональні числа – це всі числа, які можна записати у вигляді дробу. У чисельнику та знаменнику такого дробу стоять цілі числа, а знаменник не дорівнює нулю. Наприклад, числа 12\frac{1}{2}21​, −73-\frac{7}{3}−37​, 555 – це все раціональні числа.

Приклади раціональних чисел

Наприклад, 0,250,250,25 можна записати як 14\frac{1}{4}41​. Число 777 дорівнює 71\frac{7}{1}17​. А від’ємне число −2-2−2 можна записати як −21\frac{-2}{1}1−2​. Таким чином, усі ці приклади показують, що навіть знайомі нам цілі числа також належать до множини раціональних чисел.

Відмінність раціональних і нераціональних чисел

Раціональні числа завжди можна подати у вигляді дробу з цілих чисел. Натомість нераціональні числа, наприклад π\piπ або 2\sqrt{2}2​, не можна записати у вигляді точного дробу. Вони мають нескінченний неперіодичний десятковий запис. Це головна різниця між цими двома видами чисел.

Де ми зустрічаємо раціональні числа в житті

Раціональні числа зустрічаються скрізь. Ми користуємося ними, коли ділимо піцу на шматки, коли рахуємо гроші, коли визначаємо швидкість автомобіля. У рецептах, в поділі часу чи відстані – всюди присутні дроби та цілі числа. Тому їхнє вивчення таке важливе.

Властивості раціональних чисел

Раціональні числа мають низку властивостей. По-перше, їх можна додавати, віднімати, множити та ділити (крім ділення на нуль). По-друге, множина раціональних чисел є нескінченною. По-третє, вони впорядковані, тобто будь-які два числа можна порівняти й визначити, яке з них більше чи менше.

Десятковий запис раціональних чисел

Кожне раціональне число можна записати у вигляді десяткового дробу. Часто такий запис є скінченним, як у числа 0,50,50,5. Іноді він нескінченний, але періодичний, як у дробу 13=0,333…\frac{1}{3} = 0,333…31​=0,333…. Періодичність – характерна ознака раціональних чисел.

Цілі числа як частина раціональних чисел

Важливо знати, що цілі числа – це підмножина раціональних. Адже будь-яке ціле число можна записати як дріб зі знаменником 1. Наприклад, 10=10110 = \frac{10}{1}10=110​. Це означає, що раціональні числа охоплюють і дроби, і звичайні цілі числа.

Дроби як раціональні числа

Усі звичайні дроби – це приклади раціональних чисел. Вони можуть бути правильними, неправильними, мішаними. Усі вони мають однакову властивість: чисельник і знаменник є цілими числами, а знаменник не дорівнює нулю.

Додатні та від’ємні раціональні числа

Раціональні числа бувають додатні та від’ємні. Додатні більші за нуль, наприклад 34\frac{3}{4}43​. Від’ємні менші за нуль, наприклад −52-\frac{5}{2}−25​. Це дає можливість застосовувати їх у багатьох сферах, від температури до фінансів.

Нуль і раціональні числа

Нуль теж належить до раціональних чисел, адже його можна подати як дріб 01\frac{0}{1}10​. Він займає особливе місце на числовій прямій, розділяючи від’ємні та додатні числа.

Числова пряма і раціональні числа

Щоб краще зрозуміти раціональні числа, їх зображають на числовій прямій. Кожне число має своє місце: цілі числа розташовані рівномірно, а дроби можна знайти між ними. Це допомагає побачити нескінченність раціональних чисел.

Операції з раціональними числами

З раціональними числами можна виконувати чотири основні дії. Додавання та віднімання потребують спільного знаменника. Множення виконується шляхом множення чисельників і знаменників. Ділення – це множення на обернений дріб. Усі ці правила прості, але важливі.

Перетворення дробів

Раціональні числа часто зручно перетворювати. Наприклад, неправильний дріб можна подати у вигляді мішаного числа. Також можна скорочувати дроби, щоб спростити обчислення.

Використання раціональних чисел у науці

У фізиці та хімії часто застосовують раціональні числа. Вимірювання часу, маси, довжини чи температури часто виражаються дробами. Без них неможливо уявити наукові розрахунки.

Використання раціональних чисел у повсякденності

Ми користуємося раціональними числами щодня. Купуючи 1,5 літра соку, ми працюємо з дробом. Ділячи 100 гривень між двома людьми, ми теж використовуємо раціональні числа. Це робить їх необхідними для життя.

Чим корисні раціональні числа

Вони допомагають точніше вимірювати величини, розподіляти ресурси, рахувати гроші. Без раціональних чисел не працювали б сучасні технології, фінансові системи чи навіть кулінарні рецепти.

Історія появи дробів

Перші дроби з’явилися ще у Стародавньому Єгипті. Люди ділили хліб чи землю, використовуючи позначення частин. Згодом математики вдосконалили поняття раціональних чисел, і сьогодні вони є основою шкільної програми.

Раціональні числа в алгебрі

У шкільній алгебрі ми часто розв’язуємо рівняння з дробами. Саме раціональні числа допомагають будувати рівняння, розкривати дужки та знаходити корені. Це важливий інструмент для подальшого навчання.

Візуалізація раціональних чисел

Щоб краще розуміти тему, часто застосовують малюнки та діаграми. Наприклад, коло, поділене на частини, добре ілюструє дроби. Числова пряма теж допомагає. Це робить математику більш зрозумілою.

Чому важливо вивчати раціональні числа

Без знання цієї теми неможливо успішно засвоїти алгебру, геометрію, фізику чи хімію. Раціональні числа – це фундамент для подальших знань. Тому варто приділити їм достатньо уваги.

Часті помилки під час роботи з раціональними числами

Учні часто плутають знаки, забувають зводити дроби до спільного знаменника чи неправильно скорочують. Тому потрібно уважно тренуватися і перевіряти свої обчислення.

Як тренуватися працювати з раціональними числами

Найкращий спосіб – розв’язувати задачі. Чим більше прикладів ви виконаєте, тим краще зрозумієте тему. Варто також пояснювати завдання вголос або малювати схеми.

Раціональні числа і сучасні технології

Комп’ютери та калькулятори щодня обробляють мільйони раціональних чисел. Кожна фінансова операція, кожна гра чи програма використовує дробові обчислення.

Висновок

Раціональні числа – це фундаментальна частина математики. Вони допомагають нам у школі, у науці та в реальному житті. Вивчати їх важливо, бо без цього знання ми не зможемо зрозуміти складніші теми.

Читати далі: ГДЗ математика шостий клас Істер – повний та унікальний гід для школярів

Часті запитання про раціональні числа